සාධාරණ සාපේක්‌ෂතාවාදය නිර්මාණයට දායක වූ මූලික ගණිත සංකල්ප

Posted: September 12, 2014 in ෴''විදැස''විශ්වය සගවාගත් තතු෴

උත්තෝලකයක්‌ (Elevator) තුළ සිටින නිරීක්‌ෂකයකු විසින් කිසියම් යාන්ත්‍රික බලපෑම් ක්‍ෂේත්‍රයක්‌ තම උත්තෝලකය තුළ එනම් උත්තෝලකය ම`ගින් අර්ථ දැක්‌වෙන රාමුව තුළ නිරීක්‌ෂණය කරනු ලැබූ විට එය එම උත්තෝලකය පෘථිවිය වැනි දැවැන්ත ස්‌කන්ධයකට අයත් ගුරුත්ව ක්‍ෂේත්‍රය තුළ පැවතීමේ ප්‍රතිඵලයක්‌ විය හැකිවා මෙන්ම එම උත්තෝලකය හා විශ්වීය ස්‌කන්ධ පදAධතිය ම`ගින් අර්ථ දැක්‌වෙන විශ්වීය රාමුව දායක වෙමින් සිදු වන කිසියම් ඒකාකාර නො වන චලිතයක (ත්වරණ/ මන්දන චලිතයක) ප්‍රතිඵලයක්‌ වීමට ද ඉඩ ඇති බව අප විද්වත් අයින්ස්‌ටයින් ගේ සාධාරණ සාපේක්‌ෂතාවාදය පිළිබඳව ලියෑවුණු 2014.06.11 විදුසර ලිපියේ සඳහන් කළෙමු. ඒ අනුව උත්තෝලකය පවතින්නේ ගුරුත්ව බලපෑම් (ග්‍රහවස්‌තුවල) නොමැති අභ්‍යවකාශයේ නම් හා නිරීක්‌ෂකයා උත්තෝලකයේ රාමුව තුළ යාන්ත්‍රික බලපෑම් ක්‍ෂේත්‍රයක්‌ නිරීක්‌ෂණය කරයි නම් එම බලපෑම් ක්‍ෂේත්‍රය උත්තෝලකය හා විශ්වීය රාමුව සහභාගි වෙමින් සිදු වන ඒකාකාර නො වන චලිතයක්‌ හේතුවෙන් හටගත්තක්‌ බව නිගමනය කරනු ලැබිය හැකි ය. අප පෙර ලිපියේ පෙන්වා දුන් පරිදි එම යාන්ත්‍රික බලපෑම් ක්‍ෂේත්‍රය හැඳින්වීමට අවස්‌ථිති නැත හොත් ගුරුත්ව යන විශේෂණ පද පහත දැක්‌වෙන පරිදි යොදාගත හැකි ය. (යොමුව(- අයින්ස්‌ටයින් ගේ ගුරුත්ව අවස්‌ථිති තුල්‍යතා මූලධර්මය). ඒ අනුව විශ්වීය ස්‌කන්ධ පද්ධතිය ම`ගින් අර්ථ දැක්‌වෙන රාමුව නිසලතාවයේ පවතින රාමුව ලෙස සංකල්පනය කර එය නිර්දේශ රාමුව ලෙස ද ඒකාකාර නො වන චලිතය සිදු කරමින් සිටින්නා උත්තෝලකය ලෙස ද සලකනු ලබන්නේ නම් උත්තෝලකය තුළ හටගැනෙන එම යාන්ත්‍රික බලපෑම් ක්‍ෂේත්‍රය හැඳින්වෙන්නේ අවස්‌ථිති ක්‍ෂේත්‍රයක්‌ ලෙසිනි. උත්තෝලකයත් එහි රාමුවේ පවතින සියලු දේත් සමස්‌ත විශ්වීය ස්‌කන්ධ පද්ධතිය පවතින්නේ යෑයි සංකල්පනය කෙරෙන එම නිසලතාවයේ රඳවාගැනීමට භෞතිකය දරන ප්‍රයත්නය එම අවස්‌ථිති ක්‍ෂෙත්‍රය ම`ගින් ප්‍රකාශ වේ යෑයි මේ සංසිද්ධි අපට විවරණය කළ හැකි ය. විකල්ප වශයෙන් නිසලතාවයේ පවතින්නා උත්තෝලකය ලෙස සංකල්පනය කර එය අචල නිර්දේශ රාමුව ලෙස සලකන්නේ නම් ද චලිතය සිදු කරමින් සිටින්නා විශ්වීය රාමුවට අයත් සමස්‌ත විශ්වීය ස්‌කන්ධ පද්ධතිය ලෙස සංකල්පනය කරන්නේ නම් ද නිරීක්‌ෂකයා තම උත්තෝලකය අයත් රාමුවේ නිරීක්‌ෂණය කරන්නේ ගුරුත්ව බලපෑම් ක්‍ෂේත්‍රයක්‌ හෙවත් ගුරුත්ව ක්‍ෂෙත්‍රයකි. (එය ද මූලික වශයෙන් ග්‍රහලොවක්‌ ආශ්‍රිතව ඇති ගුරුත්ව ස්‌වභාවය ම වේ). උත්තෝලකය හා එහි රාමුවේ ඇති සියලු දේවල් සමස්‌ත විශ්වීය ස්‌කන්ධ පද්ධතිය සිදු කරමින් සිටින්නේ යෑයි සංකල්පනය කෙරෙන එම ඒකාකාර නො වන චලිතයට ඈ`දාගැනීම සඳහා ක්‍රියාත්මක වන භෞතික බලපෑමක්‌ ලෙස එම ගුරුත්ව ක්‍ෂේත්‍රය හැඳින්විය හැකි ය. කුමන නමින් හඳුන්වනු ලැබූවත් එය ස්‌වභාවධර්මයේ තවත් එක්‌ මූලික යාන්ත්‍රික බලපෑම් වර්ගයක්‌ පමණක්‌ වේ. එහෙත් එය අවස්‌ථිති ක්‍ෂේත්‍රයක්‌ ලෙස හැඳින්වීම වඩා ස්‌වාභාවික ය. සටහන(- විශේෂ සාපේක්‌ෂතාවාදයේ දී අපි වස්‌තුවක ඒකාකාර චලිතය (Uniform motion) නමින් හැඳින්වෙන සංකල්පය පිළිබඳව දැනගතිමු. ඒකාකාර චලිතය යන්න එහි දී අප හඳුනාගත්තේ යම් රාමුවකට සාපේක්‌ෂව සරල රේඛාවක්‌ ඔස්‌සේ නියත වේගයකින් සිදු වන චලිතය ලෙස ය. (Uniform motion is motion in a straight line at a constant
speed)ග අපි දැන් අවස්‌ථිති බලපෑම් පිළිබඳව දැනුවත් ව ඇති බැවින් වස්‌තුවක ඒකාකාර චලිතය සඳහා වඩා හොඳ අර්ථදැක්‌වීමක්‌ ලබා දීමට දැන් අපට හැකි ය. ඒ අනුව වස්‌තුවක ඒකාකාර චලිතය යනු වස්‌තුවේ රාමුවේ අවස්‌ථිති බලපෑම් පැන නො න`ගිමින් සරල රේඛාවක්‌ ඔස්‌සේ නියත වේගයකින් සිදු වන චලිතය ලෙස අර්ථ දැක්‌වීම වඩා යෝග්‍ය ය. නිව්ටෝනියානු සම්භාව්‍ය භෞතිකය වස්‌තුවක ඒකාකාර ප්‍රවේගය අර්ථ දක්‌වන්නේ ද මෙයට සමාන අයුරකින් ය. එනම් වස්‌තුවක්‌ මත බාහිර බලයක්‌ ක්‍රියාක්‌මක නො වන අවස්‌ථාවේ දී එනම් වස්‌තුව ආශ්‍රිත ව අවස්‌ථිති බලපෑම් නිරීක්‌ෂණය නො වන අවස්‌ථාවේ දී එම වස්‌තුව සිදු කරන චලිතය ලෙස ය. මෙලෙස සිදු වන ඒකාකාර චලිතය සමස්‌ත විශ්වීය ස්‌කන්ධ පද්ධතිය ම`ගින් අර්ථ දැක්‌වෙන්නේ යෑයි සංකල්පනය කෙරෙන විශ්වීය රාමුවට සාපේක්‌ෂව සිදු වන සාධාරණ ඒකාකාර චලිතයක්‌ ලෙස ද අපට සැලකිය හැකි ය. අයින්ස්‌ටයින් ගේ ගුරුත්ව අවස්‌ථිති තුල්‍යතා මූලධර්මය පිළිබඳව අප පසුගිය විදුසර ලිපියේ සඳහන් කර ඇත. එම මූලධර්මයෙන් පැවසෙන්නේ ගුරුත්ව හා අවස්‌ථිති යන සංසිද්ධීන් සමානත්වයන් සහිත සංසිද්ධීන් දෙකක්‌ නො ව එක ම සංසිද්ධියක්‌ වන බවයි. විද්වත් අයින්ස්‌ටයින් ඉදිරිපත් කළ මේ විප්ලවීය අදහස සරල අදහසක්‌ සේ පෙනී ගිය ද එය විද්‍යාත්මක දර්ශනයට මහත් බලපෑමක්‌ ඇති කළ මූලික අදහසක්‌ විය. එය හුදු මනෝ මූලික අදහසක්‌ නො ව විද්‍යා පර්යේෂණවල ප්‍රතිඵල සලකා බලා බිහි කළ තීක්‌ෂණ අදහසකි. සියලු ආකාරයේ චලිත තත්ත්වයන් නිරපේක්‌ෂව ඔප්පු කළ නොහැකි සාපේක්‌ෂ වූ ඒවා ලෙස හඳුනාගැනීමට ම`ගපෑදුවේ එම විශිෂ්ට අදහසයි. මතු දැක්‌වෙන දළ උදාහරණය සිතිවිලි පර්යේෂණය ඒ පිළිබඳ යම් අවබෝධයක්‌ අපට ලබා දෙයි.

අභ්‍යවකාශය තුළ පෘථිවියේ රාමුවට සාපේක්‌ෂව g ත්වරණයකින් ඉහළ න`ගිමින් තිබෙන උත්තෝලකයක්‌ හා එය තුළ සිටින නිරීක්‌ෂණයකු පිළිබඳව සලකන්න. එම නිරීක්‌ෂකයා දිගු නින්දකට පසු හදිසියේ අවදි වී ඇතැයි ද සිතන්න. මෙවිට තම උත්තෝලකය තුළ යාන්ත්‍රික බලපෑම් ක්‍ෂේත්‍රයක්‌ ඔහු නිරීක්‌ෂණය කරයි. උත්තෝලකය කුඩා එකක්‌ නම් හා එම දොර කවුළු වසා ඇත්නම් තමා නිරීක්‌ෂණය කරමින් සිටින යාන්ත්‍රික බලපෑම් ක්‍ෂේත්‍රය අවස්‌ථිති ක්‍ෂේත්‍රයක්‌ ද ගුරුත්ව ක්‍ෂේත්‍රයක්‌ ද යන්න වහා තීරණය කිරීමට ඔහුට අපහසු වේ. තම උත්තෝලකය තුළ අත්දකින යාන්ත්‍රික බලපෑම් ක්‍ෂේත්‍රය අභ්‍යවකාශය තුළ දී කිසියම් බාහිර බලයක ක්‍රියාව විසින් තම උත්තෝලකයට ට ත්වරණයක්‌ ලබා දීම නිසා ජනනය වූ අවස්‌ථිති බල ක්‍ෂේත්‍රයක්‌ විය හැකිවා මෙන්ම තම උත්තෝලකය පෘථිවි ගුරුත්ව ක්‍ෂේත්‍රය තුළ නිසල ව පැවතීම නිසා අත්දකින පෘථිවි ගුරුත්ව බලපෑම වීමට ද හැකි බව එම නිරීක්‌ෂකයා සිතයි. මෙහි දී උත්තෝලකය තුළ නිරීක්‌ෂණය කෙරෙන යාන්ත්‍රික බලපෑම් ක්‍ෂේත්‍රය පදනම් කරගනිමින් තම උත්තෝලකය අභ්‍යවකාශය තුළ පෘථිවියට සාපේක්‌ෂව ට ත්වරණයකින් චලිත වෙමින් තිබේ ද එසේ නැත හොත් පෘථිවි ගුරුත්ව ක්‍ෂේත්‍රය තුළ නිසලතාවයේ පවතී ද යන කාරණය නිරපේක්‌ෂව නිගමනය කිරීමට ඔහුට අපහසු වෙයි. වෙනත් වචනවලින් පැවසුව හොත් තම උත්තෝලකය යම් ආකාරයක ඒකාකාර නො වන චලිතයක්‌ සිදු කරමින් සිටින්නේ ද නැද්ද යන්න නිරපේක්‌ෂව දැනගැනීමට එම නිරීක්‌ෂකයාට නොහැකි ය.

පෘථිවියේ සහ විශ්වයේ සාපේක්‌ෂ චලිතය පිළිබඳව විවාදාත්මක පෞරාණික ඉගැන්වීමක්‌ පිළිබඳව යමක්‌ සඳහන් කිරීමට මේ සුදුසු අවස්‌ථාවයි. මේ කාරණය පිළිබඳව විද්aවත් ඇරිස්‌ටෝටල් (Aristotle) ගේ ඉගැන්වීම වූයේ පෘථිවිය නිසල ව තිබිය දී විශ්වය පෘථිවිය වටා කරකැවෙන බවයි. මෙය ඇත්තෙන් ම තෝරාගත හැකි විකල්ප නිර්දේශ රාමු පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක්‌ පමණි. මෙහි දී වඩා ස්‌වාභාවික නිර්දේශ රාමුව වන්නේ විශ්වීය රාමුවයි. විශ්වය නිසලතාවයේ පවතිමින් පෘථිවිය එම නිසලතාවට සාපේක්‌ෂව භ්‍රමණය සිදු කරන බවත් ඒ හේතුවෙන් පැනන`ගින අවස්‌ථිති බලපෑම් විසින් පෘථිවියේ ධ්‍රැව අසල ඉල්පීම් ඇති කරනු ලැබ තිබෙන බවත් එහි දී අපට පැවසිය හැකි ය. විකල්ප වශයෙන් අපට එම සාපේක්‌ෂ චලිතය ඇරිස්‌ටෝටල් ඉගැන්වූ ආකාරයට පෘථිවිය නිසල ව පවතිද්දී සමස්‌ත විශ්වය පෘථිවිය වටා සිදු කරන භ්‍රමණ චලිතයක්‌ ලෙසට සංකල්පනය කළ හැකි ය. එහි දී අප ගේ නිර්දේශ රාමුව වන්නේ නිසලතාවයේ පවතින්නේ යෑයි සැලකෙන පෘථිවියයි. එහි දී පැනන`ගින යාන්ත්‍රික බලපෑම් ක්‍ෂේත්‍රය පෘථිවිය පවතින්නේ යයි සැලකෙන එම නිසලතාවට සාපේක්‌ෂව සමස්‌ත විශ්වය සිදු කරමින් සිටින ඒකාකාර නො වන චලිතයට පෘථිවියට ද ඈ`දාගැනීම සඳහා භෞතිකය දරන උත්සාහයක්‌ ලෙස අපට විවරණය කළ හැකි ය. එබැවින් එය ගුරුත්ව ක්‍ෂේත්‍රයකි. (Gravitational field) මේ විවරණයට අනුව පෘථිවියේ ධ්‍රැවාසන්න ඉල්පීම්වලට හේතුකාරකය වන්නේ එම ගුරුත්ව ක්‍ෂේත්‍රයයි.

තමා තුළ ඇති සියලු එක්‌ එක්‌ වස්‌තු අල්ලාගත හැකි කිසියම් අභිරහස්‌ ගුප්ත බලයක්‌ විශ්වය සතු ව ඇතැයි මොහොතකට සිතන්න. මේ පිළිබඳ ඉතා ම කුතුහලාත්මක පුදුම එලවනසුලු කාරණය වන්නේ විශ්වය තුළ ඒකාකාර චලිතයක යෙදෙමින් ඇති වස්‌තු විෂයයෙහි එම අභිරහස්‌ අල්ලාගැනීම සිදු නො වීමයි. යම් වස්‌තුවක්‌ ඒකාකාර නො වන චලිතයක්‌ (ත්වරණ හෝ මන්දන චලිතයක්‌) ආරම්භ කළ මොහොතේ සිට ම එම වස්‌තුව මත එම අභිරහස්‌ “ද`ඩු අ`ඩුවේ” බලපෑම ක්‍රියාත්මක වේ. එම වස්‌තුව එම ඒකාකාර නො වන චලිතය සිදු කළ යුත්තේ මේ ද`ඩු අ`ඩුවේ ප්‍රතිරෝධයට මුහුණ දෙමිනි. විශ්වය අචල නිර්දේශ රාමුව ලෙස සලකනු ලබන්නේ නම් එම යාන්ත්‍රික බලපෑම හැඳින්විය හැක්‌කේ වස්‌තුවේ අවස්‌ථිතිය නමිනි. එය චලිත තත්ත්වය වෙනස්‌ කිරීමට එරෙහි ව විශ්වය ඇති කරන ප්‍රතිරෝධය ලෙස සැලකිය හැකි ය. වස්‌තුව අචල නිර්දේශ රාමුව ලෙස සලකනු ලබන්නේ නම් එම යාන්ත්‍රික බලපෑම ගුරුත්ව බලපෑමක්‌ ලෙස නම් කළ හැකි ය. එම ගුරුත්ව බලපෑම ම`ගින් ප්‍රකාශ වන්නේ විශ්වය සිදු කරමින් සිටින්නේ යෑයි සංකල්පනය කෙරෙන ඒකාකාර නො වන චලිතයට නිසලතාවයේ පවතින්නේ යෑයි සංකල්පනය කෙරෙන වස්‌තුව ද ඈ`දාගැනීම සඳහා ක්‍රියාත්මක වන ප්‍රයත්නයක්‌ ලෙස ය.

සාධාරණ සාපේක්‌ෂතාවාදයේ එන මූලිකතම අදහස අපට මෙලෙසින් සංක්‌ෂිප්ත කර ඉදිරිපත් කළ හැකි ය. එනම් වස්‌තුවක්‌ විශ්වීය රාමුවට සාපේක්‌ෂව නිසලතාවයේ පවතින්නේ ද නැත හොත් ඒකාකාර චලිතයක හෝ ඒකාකාර නො වන චලිතයක හෝ යෙදෙමින් සිටින්නේ ද යන්න නිශ්චිත ව ඔප්පු කිරීම සඳහා එම වස්‌තුවේ රාමුව පමණක්‌ අදාළ කරගනිමින් සිදු කළ හැකි කිසිදු ආකාරයක පර්යේෂණයක්‌ නො පවතී ය යනුවෙනි. එලෙස එය ඔප්පු කිරීම කළ නොහැකි වුවත් විශ්වීය රාමුව ද සහාය කරගත හැකි නම් වස්‌තුව හා එය අතර සාපේක්‌ෂ නිසලතාවක්‌ හෝ සාපේක්‌ෂ චලිතයක්‌ හෝ පවතින බව සොයා දැනගත හැකි ය. මෙය අදාළ කාරණය පිළිබඳව විද්වත් නිව්ටන් පවසන අදහසේ විස්‌තීරණයක්‌ මෙන්ම අයින්ස්‌ටයින් ගේ විශේෂ සාපේaක්‌ෂතාවාදය පවසන අදහසේ ද විස්‌තීරණයකි. එලෙසින් සියලු ආකාරයේ චලිතයන් නිරපේක්‌ෂව දැනගත නොහැකි සාපේක්‌ෂ වූ සංසිද්ධීන් බව සාධාරණ සාපේක්‌ෂතාවාදය විසින් පෙන්වා දෙනු ලැබුව ද එය වෙනත් නිරපේක්‌ෂ ස්‌වභාවයන් ද පෙන්වා දී තිබේ. ඕනෑ ම චලිත තත්ත්වයක පසු වන නිරීක්‌ෂකයකුට (රාමුවකට) සාපේක්‌ෂව භෞතිකත්වය පිළිබඳ සියලු නීති අවිචලකයන් (Invariants) වන්නේ ය යන කාරණය සාධාරණ සාපේක්‌ෂතාවාදයේ එන එවැනි සුවිශේෂී වැදගත් ඉeගැන්වීමකි. ඕනෑ ම චලිත තත්ත්වයක සිටින නිරීක්‌ෂකයකුට තම පර්යේෂණ හා මිනුම්කරණයන්හි ප්‍රතිඵල යොදාගනිමින් සූත්‍රගත කරන භෞතිකත්වය පිළිබඳ නීති එක ම ආකාරයේ ඒවා වන්නේ යෑයි සාපේක්‌ෂතාවාදය ප්‍රකාශ කර සිටියි. එම නිරීක්‌ෂකයා විද්‍යාගාරයක පර්යේෂණ සිදු කරන විද්‍යාඥයකු විය හැකි ය. නැත හොත් දැවැන්ත අජටාකාශ යානයක නැ`ග ඈත තාරකාවක්‌ වෙත ත්වරණය කරන අජටාකාශගාමියකු විය හැකි ය. සඳෙහි හෝ වෙනත් ග්‍රහලොවක හෝ වෙසෙන්නකු විය හැකි ය. එහෙත් ඔවුන් සියලු දෙනා විශ්වය දකිනු ඇත්තේ එක ම අයුරකිනි. අප මෙතෙක්‌ විමසා බලමින් සිටියේ විද්‍යාත්මක චින්තනයේ නව පරිච්ඡේදයක්‌ සටහන් කළ එතෙක්‌ මෙතෙක්‌ නිර්මාණය කරන ලද මහා විද්‍යාත්මක වාද අතුරින් එකක්‌ වූ විද්වත් අයින්ස්‌ටයින් ගේ සාපේක්‌ෂතාවාදයේ එන මූලික සංකල්ප, අදහස්‌, මූලධර්ම ආදිය පිළිබඳව ය. අප මෙතැන් සිට සූදානම් වන්නේ එම මහා වාදයේ හරය පිළිබඳව යම් දැනුවත් වීමක්‌ ලබාගැනීමට ය.

කුඩා දරුවකු ව සිටි අවධියේ සිට ම අයින්ස්‌ටයින් විද්වතා ස්‌වභාවධර්මයේ මූලික නීති පිළිබඳව අන් අයට වඩා ගැඹුරින් සිතමින් සිට ඇති බව අපි දනිමු. සිය බාල කාලයේ දී අත්දුටු විස්‌මයන් දෙකක්‌ පිළිබඳව ඔහු සිය චරිතාපදානයෙන් සිහිපත් කරයි. ඉන් පළමුවැන්න නම් ඔහු ගේ වයස අවුරුදු හතරක්‌ හෝ පහක්‌ වූ කාලයේ දී ඔහු ගේ පියා ඔහුට ගෙනැවිත් දුන් කුඩා මාලිමා යන්ත්‍රයයි. ඔහු අත්දුටු දෙවැනි විස්‌මය වන්නේ වයස අවුරුදු දොළහේ දී ඔහු කියවූ යුක්‌ලිඩියානු ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ පොතයි. මේ සොඳුරු විස්‌මයන් දෙක තම ජීවිත ගමන් මඟ තීරණය කළ අනුස්‌මරණීය සංකේතයන් ලෙස විද්වත් අයින්ස්‌ටයින් සටහන් කරයි.

සාධාරණ සාපේක්‌ෂතාවාදයේ හරය පිළිබඳ යම් දැනුවත් වීමක්‌ ලබාගැනීමට බලාපොරොත්තු වන අපට යම් මූලික ගණිත අදහස්‌ කීපයක්‌ පිළිබඳව පූර්ව අවබෝධයක්‌ ලබා සිටීම ප්‍රයෝජනවත් වෙයි. විද්වත් අයින්ස්‌ටයින් මහත් සේ ඇලුම් කළ ජ්‍යාමිතියෙන් ම අද ඒ ගණිත අදහස්‌ පිළිබඳව දැනුවත්වීම ආරම්භ කරමු. පළමුවෙන් ම අප විමසා බලන්නේ බහුමාන අවකාශ හා සාධාරණ සරල රේඛාව (Generalized straight line) නම් වූ ගණිත සංකල්පය පිළිබඳව ය. විද්‍යාවේ දී භෞතිකය නිරූපණය කෙරෙන්නේ ගණිතය ම`ගින් බව අපි හොඳින් දන්නෙමු. ඉහත සඳහන් ගණිත සංකල්ප අපට හොඳින් හුරුපුරුදු ජ්‍යාමිතික සංකල්පවල ම විස්‌තීර්ණයන් ය. අපි පළමුව ලක්‌ෂ්‍යය (Point) යන ජ්‍යාමිතික සංකල්පය ශූන්‍යමාන (Zero dimensional) අවකාශයක්‌ ලෙස හඳුන්වමු. එය බහුමාන අවකාශයන්හි සරලතම උප අවකාශය ලෙස ද හැඳින්විය හැකි ය. ඉන්පසුව අපි සරල හෝ වක්‍ර රේඛාවක්‌ පිළිබඳ ජ්‍යාමිතික සංකල්පය සලකමු. සරල හෝ වක්‍ර රේඛාවක්‌ මත ඕනෑ ම පිහිටීමක්‌ (ලක්‌ෂ්‍යයක්‌) එක්‌ ඛණ්‌ඩාංකයකින් (සංඛ්‍යාවකින්) පමණක්‌ අනන්‍ය ව දැක්‌විය හැකි ය. එලෙස රේඛාවක්‌ මත ඕනෑ ම පිහිටීමක්‌ අනන්‍ය ව නිරූපණය කිරීමට අවශ්‍ය වන්නේ එක්‌ ඛණ්‌ඩාංකයක්‌ (එක්‌ සංඛ්‍යාවක්‌) පමණක්‌ බැවින් රේඛාවක්‌ යනු ඒකමාන අවකාශයක්‌ (One dimensional space) ලෙස අපට හැඳින්වීමට පුළුවන. වඩා සවිස්‌තරව දැක්‌වුව හොත් සරල හෝ වක්‍ර ඕනෑ ම රේඛාවක්‌ යනු ඒකමාන උප අවකාශයකි. (One dimensional sub space)ග මේ අයුරින්ම සමතල හෝ වක්‍ර හෝ ඕනෑ ම තලයක්‌ මත පිහිටුමක්‌ අනන්‍ය ව නිරූපණය කිරීම සඳහා අවශ්‍ය වන්නේ ඛණ්‌ඩාංක (සංඛ්‍යා) දෙකක්‌ පමණක්‌ බැවින් ඕනෑ ම තලයක්‌ ද්විමාන උප අවකාශයක්‌ වෙයි. (Two dimensional sub space)ග මෙලෙස ශූන්‍ය මාන, ඒකමාන, ද්විමාන වශයෙන් උප අවකාශයන් තුනක්‌ අර්ථ දැක්‌විය හැකි අතර මේ අර්ථ දැක්‌වීම් අනුපිළිවෙළේ ඊළ`ගට ඇත්තේ ඕනෑ ම පිහිටීමක්‌ අනන්‍ය ව දැක්‌වීම සඳහා ඛණ්‌ඩාංක (සංඛ්‍යා තුනක්‌) පමණක්‌ අවශ්‍ය කෙරෙන ස්‌වභාවයෙන් යුතු අපට සුපුරුදු ත්‍රිමාන අවකාශයකි. (Three dimensional space)ග මුලින් සඳහන් කළ ශූන්‍යමාන, ඒකමාන හා ද්විමාන අවකාශයන්හි ඕනෑ ම පිහිටීමක්‌ මේ ත්‍රිමාන අවකාශයේ පිහිටීමක්‌ වශයෙන් ද දැක්‌වීමට හැකි වීමේ අරුතින් ඒවා මේ ත්‍රිමාන අවකාශයේ උප අවකාශයන් (Sub space) වෙයි.

ස්‌වභාවධර්මය යනු භෞතික අවකාශයන් පමණක්‌ ම නො වේ. භෞතික ලෝකයේ දී අප ගේ අත්දැකීම වන්නේ ස්‌වාධීන වූ භෞතික දිශා තුනක්‌ පිළිබඳව ය. අප යම් දිශාවක්‌ ඔස්‌සේ චලිතය සිදු කළ හොත් එම දිශාවට ලම්බක වූ දිශා දෙක ඔස්‌සේ අප ගේ කිසිදු විස්‌ථාපනයක්‌ සිදු නො වේ. අප ත්‍රිමානයීය අවකාශයේ වූ ඕනෑ ම ලක්‌ෂ්‍යයක්‌ සලකත හොත් එම ලක්‌ෂ්‍ය හරහා වූ එකිනෙකට ලම්බක දිශා තුනක්‌ සහිත දිශා පද්ධති ඕනෑ තරමක්‌ ලබාගත හැකි ය. ඉහත පැහැදිලි කිරීමට අනුව එම ඕනෑ ම දිශා පද්ධතියක්‌ ම`ගින් ස්‌වාධීන දිශා තුනක්‌ දැක්‌වෙයි. භෞතික අවකාශයේ ඕනෑ ම ලක්‌ෂ්‍යයක්‌ හරහා ස්‌වාධීන දිශා තුනකින් සමන්විත රේඛා පද්ධතීන් ඕනෑ ම ගණනක්‌ ලබාගත හැකි බැවින් ද රේඛාවක්‌ යනු ඒකමාන පැවැත්මක්‌ බැවින් ද භෞතික අවකාශය ත්‍රිමානයීය අවකාශයක්‌ ලෙස එලෙසින් හැඳින්විය හැකි ය.

අප කලින් ද සඳහන් කර ඇති ලෙස භෞතික ලෝකය යනු ස්‌වාධීන අවකාශයීය පැවැත්මන් ගෙන් පමණක්‌ යුක්‌ත වූවක්‌ නො වේ. යම් භෞතික සංසිද්ධියක්‌ සඳහා ස්‌වාධීන පැවැත්මන් ගණනාවක්‌ දායක විය හැකි ය. චලිතය ද එවැනි සංසිද්ධියකි. විද්වත් අයින්ස්‌ටයින් ගේ සාපේක්‌ෂතාවාදයේ දී චලිතය ඇසුරු කරගත් යම් යම් භෞතික සංසිද්ධීන් විවරණය කිරීමට ත්‍රිමානයෙන් ඔබ්බට විස්‌තීර්ණය කෙරුණු බහුමානයන් පිළිබඳ ගණිත සංකල්පය ඉතා ම තීක්‌ෂණ හා තාර්කික ලෙසින් උපයෝගි කරගෙන ඇති අයුරු අපට ඉදිරි ලිපිවලින් කියවිය හැකි ය.

මීළ`ගට අප විමසන්නේ සාධාරණ සරල රේඛාව (Generalized straight line) නමින් හැඳින්වෙන ගණිත සංකල්පය පිළිබඳව ය. සාධාරණ සරල රේඛාව යනු යුක්‌ලිඩියානු ජ්‍යාමිතියේ එන සරල රේඛාව පිළිබඳ සංකල්පය සාධාරණීකරණය කර දැක්‌වීමකි. යුක්‌ලිඩියානු අර්ථ දැක්‌වීම අනුව සමතලයක වූ සරල රේඛාවක ප්‍රභින්න ලක්‌ෂ්‍ය දෙකකින් එම තලය ඔස්‌සේ එම ලක්‌ෂ්‍ය දෙක අතර ඇති කෙටිතම දුර දැක්‌වෙයි. වෙනත් වචනවලින් පැවසුව හොත් සරල රේඛාවක ඛණ්‌ඩයකින් දැක්‌වෙන්නේ සමතලයක්‌ මතින් එම සරල රේඛා ඛණ්‌ඩයේ අන්ත ලක්‌ෂ්‍ය දෙක අතර ඇති කෙටිතම දුරයි. සාධාරණ සරල රේඛාව පිළිබඳ සංකල්පය ද සමතලයක පිහිටි සරල රේඛාව පිළිබඳ මේ යුක්‌ලිඩියානු අදහසේ සාධාරණීකරණයකි. මේ සාධාරණ අර්ථ දැක්‌වීමට අනුව සරල රේඛාවක ඛණ්‌ඩයකින් දැක්‌වෙන්නේ යම් පෘෂ්ඨයක හෝ අවකාශයක වූ ප්‍රභින්න ලක්‌ෂ්‍ය දෙකක්‌ අතර එම පෘෂ්ඨය ඔස්‌සේ හෝ එම අවකාශය තුළින් මැනෙන කෙටිතම දුරයි. මේ අවකාශය ඒකමාන ද්විමාන (එනම් පෘෂ්ඨීය) ත්‍රිමාන හෝ වෙනත් බහුමාන අවකාශයක්‌ විය හැකි ය. වක්‍ර පෘෂ්ඨයක හෝ සාධාරණ වශයෙන් වක්‍ර අවකාශයක (Curvel space) පිහිටි “සරල රේඛාවක්‌” සමතල පෘෂ්ඨයක වූ සරල රේඛාවක්‌ මෙන් ඇද නැති සෘජු ඒවා නො වන බව ද අප මෙහි දී පැහැදිලිව තේරුම්ගත යුතු ය. එහෙත් එම “සරල රේඛා ද” සාමාන්‍ය සරල රේඛා මෙන් ගණිතමය සමීකරණවලින් නිරූපණය කළ හැකි රේඛා (වක්‍රයයන්) බව ද අප සඳහනට ගත යුතු ය. (සටහන(- වක්‍ර අවකාශයක්‌ පිළිබඳ සංකල්පය මතු තවදුරටත් විස්‌තර කෙරේ).

ගෝලයක පෘෂ්ඨය පිළිබඳව සැලකීමෙන් අපට ඉහත කාරණය පැහැදිලි කළ හැකි ය. ගෝලාකාර කොමඩු ගෙඩියක පෘෂ්ඨය මත ස්‌ථාන දෙකක අල්පෙනෙත්ති දෙකක්‌ සවි කර ඒවා පෘෂ්ඨය මතින් යා වන සේ නූලක්‌ නොබුරුල් ව සම්බන්ධ කිරීමෙන් අපට එම ගෝලීය පෘෂ්ඨය මත වූ සරල රේඛා ඛණ්‌ඩයක්‌ ලබාගත හැකි ය. ගෝලීය පෘෂ්ඨයක්‌ මත ඇඳි මෙවැනි ඕනෑ ම සරල රේඛා ඛණ්‌ඩයක්‌ එම ගෝලීය පෘෂ්ඨය මත වූ යම් මහා වෘත්තයක (Great circle) පරිධියේ කොටසක්‌ වෙයි. එබැවින් ගෝල පෘෂ්ඨයක්‌ මත වූ මහා වෘත්ත ම`ගින් එම පෘෂ්ඨය මත වූ සරල රේඛාවන් දැක්‌වෙන බව පැවැසිය හැකි ය. ගෝලීSය පෘෂ්ඨයක්‌ මත වූ මහා වෘත්ත සියල්ල ප්‍රභින්න ලක්‌ෂ්‍ය දෙකක්‌ හරහා ගමන් කරන බව ද ගෝලීය ජ්‍යාමිතියේ දී ඉගැන්වේ.

සාපේක්‌ෂතාවාදය හැදැරීමේ දී මීළ`ගට අප දැනුවත් විය යුතු වන්නේ යුක්‌ලිඩියානු නො වන ජ්‍යාමිතීන් (non Euclidian Geometries) පිළිබඳව ය. යුක්‌ලිඩියානු ජ්‍යාමිතියේ එන අපකීර්තිමත් හා විවාදාත්මක මූලික සංකල්පයක්‌ (ප්‍රත්‍යක්‍ෂයක්‌) වූ සරල රේඛාවල සමාන්තරත්වය පිළිබඳ සංකල්පය අපි හොඳින් දන්නෙමු. සරල රේඛාවල සමාන්තරත්වය පිළිබඳ යුක්‌ලිඩියානු ප්‍රත්‍යක්‍ෂය (axiom) පිළිබඳව විමසීමට ප්‍රථම අප සමාන්තර සරල රේඛා පිළිබඳ ගණිත අර්ථදැක්‌වීම තේරුම්ගෙන තිබිය යුතු ය. මේ අර්ථ දැක්‌වීම සඳහා සරල රේඛාව යන ගණිත සංකල්පය අවශ්‍ය වන අතර සරල රේඛාව පිළිබඳ නිශ්චිත ගණිත අර්ථ දැක්‌වීම අප ඉහතින් ඉදිරිපත් කර ඇත. යුක්‌ලිඩියානු ජ්‍යාමිතියේ දී සාමාන්‍යයෙන් සලකා බලන්නේ සමතලයක වූ සරල රේඛා පිළිබඳව ය. ඒවායින් සමතලයක වූ ලක්‌ෂ්‍ය අතර කෙටිතම දුර නිරූපණය වෙයි. තව ද වක්‍ර නො වූ හෝ වක්‍ර වූ ඕනෑ ම අවකාශයක පිහිටි සරල රේඛා පිළිබඳව ද අප ඉහත අර්ථ දක්‌වා ඇත. උදාහරණ ( ගෝලීය පෘෂ්ඨයක පිහිටි සරල රේඛා එම ගෝලීය පෘෂ්ඨයේ මහා වෘත්තයන් ය. (Great circles)ග සමාන්තර රේඛා පිළිබඳ නිවැරැදි ගණිත අර්ථ දැක්‌වීම වන්නේ සමාන්තර රේඛා යනු අනන්ත දුරක දී එනම් අපරිමිත දුරක දී හමු වන සරල රේඛා යන්නයි. යම් රේඛා දෙකක්‌ සමාන්තර රේඛා වීමට නම් ඒවා සරල රේඛා විය යුතු අතර අපරිමිත දුරක දී හමු විය යුතු ද වේ. වචනයෙන් වනිත වන ආකාරයට සමාන්තර රේඛා යනු සම-අතරක්‌ හෙවත් සම පරතරයක්‌ සහිත රේඛා ලෙස අර්ථ නො දැක්‌වෙන අතර සම පරතරයක්‌ තිබීම සමතලයක වූ සමාන්තර රේඛාවලට පමණක්‌ ඇති ගතිගුණයකි.
පියසිරි සූරියගේ

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s